您好,欢迎进入博大教育官方网站! 24小时咨询热线: 0431-88002985
当前位置:主页 > 初中补习 > 初中数学常考四边形的考点及题型

初中数学常考四边形的考点及题型

未知 小编:bianji

 

  一、矩形、菱形、正方形的性质

  1.矩形的性质

  ①具有平行四边形的一切性质;

  ②矩形的四个角都是直角;

  ③矩形的对角线相等;

  ④矩形是轴对称图形,它有两条对称轴;

  ⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

  2.菱形的性质

  ①具有平行四边形的一切性质;

  ②菱形的四条边都相等;

  ③菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;

  ④菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是它的对称轴;

  ⑤菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半。

  3.正方形的性质

  正方形具有平行四边形,矩形,菱形的一切性质

  ①边:四边相等,对边平行;

  ②角:四个角都是直角;

  ③对角线:互相平分;相等;且垂直;每一条对角线平分一组对角,即正方形的对角线与边的夹角为45度;

  ④正方形是轴对称图形,有四条对称轴。

  例1 矩形ABCD中,DE⊥AC于E,且∠ADE:∠EDC=3:2,则∠BDE的度数为 ( )

  A.360 B.90

  C.270 D.180

  例2 如图,矩形ABCD中,AE⊥BD于点E,对角线AC与BD相交于点O,BE:ED=1:3,AB=6cm,求AC的长。

  例3 如图, O是矩形ABCD 对角线的交点, AE平分 ∠BAD,∠AOD=120° ,求∠AEO 的度数。

  例4 菱形的周长为40cm,两邻角的比为1:2,则较短对角线的长________ 。

  例5 如图,在正方形ABCD中,G是BC上任意一点,连接AG,DE⊥AG于E,BF∥DE交AG于F,探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系,并说明理由.

  二、矩形、菱形、正方形的判定

  1.矩形的判定

  ①有一个内角是直角的平行四边形是矩形;

  ②对角线相等的平行四边形是矩形;

  ③有三个角是直角的四边形是矩形;

  ④还有对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

  2.菱形的判定方法

  ①有一组邻边相等的平行四边形是菱形;

  ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形;

  ③四条边都相等四边形是菱形;

  ④对角线垂直平分的四边形是菱形。

  3.正方形的判定

  ①菱形+矩形的一条特征;

  ②菱形+矩形的一条特征;

  ③平行四边形+一个直角+一组邻边相等。

  说明一个四边形是正方形的一般思路是:先判断它是矩形,在判断这个矩形也是菱形;或先判断它是菱形,再判断这个菱形也是矩形。

  例1. 如图,在△ABC中,AB=AC,点D是边BC的中点,过点A、D分别作BC与AB的平行线,并交于点E,连续EC、AD。

  求证:四边形ADCE是矩形。

  例2.如图,△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,ED⊥BC,DF//AB.

  求证:AD与EF互相垂直平分。

  例3.已知如图,在△ABC,∠ACB=900,AD是角平分线,点E、F分别在AB、AD上,且AE=AC,EF∥BC。

  求证:四边形CDEF是菱形。

  三、矩形、菱形、正方形与函数综合题

  1.利用矩形、菱形、正方形的知识解决函数问题;

  2.利用函数知识解决矩形、菱形、正方形的问题;

  例1.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点C与原点O重合,点B在y轴的正半轴上,点A在反比例函数y=(k>0,x>0)的图象上,点D的坐标为(4,3).

  (1)求k的值;

  (2)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移,当菱形的顶点D落在函数y=(k>0,x>0)的图象上时,求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离。

  例2.如图,点B、C分别在两条直线y=2x和y=kx上,点A、D是x轴上两点,已知四边形ABCD是正方形,则k值为______.

  例3 已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点,点C、D是某个函数图象上的点,当四边形ABCD(A、B、C、D各点依次排列)为正方形时,称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形.例如:如图,正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形.

  (1)若某函数是一次函数y=x+1,求它的图象的所有伴侣正方形的边长;

  (2)若某函数是反比例函数,它的图象的伴侣正方形为ABCD,点D(2,m)(m<2)在反比例函数图象上,求m的值及反比例函数解析式。

  四、矩形、正方形的翻折

  1.从翻折中找出对称轴,利用对称性找相等关系。

  2.利用相等关系建立方程解决问题。

  例1 如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE,延长BG交CD于点F.若CF=1,FD=2,则BC的长是( )

  A.3√6 B.2√6

  C.2√5 D.2√3

  例2 如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=7,点E为BC上一动点,把△ABE沿AE折叠,当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时,则点B′到BC的距离为(  )

  A.1或2 B. 2或3

  C.3或4 D. 4或5

  例3 如图,在边长为1的正方形ABCD中,E为AD边上一点,连接BE,将△ABE沿BE对折,A点恰好落在对角线BD上的点F处。延长AF,与CD边交于点G,延长FE,与BA的延长线交于点H,则下列说法:①△BFH为等腰直角三角形;②△ADF≌△FHA; ③∠DFG=60°;④DE=2-√2;⑤S△AEF=S△DFG.其中正确的说法有( )

  A.1个  B.2个

  C.3个 D.4个

  例4 四边形ABCD是正方形,∠MAN=45°,它的两边AM、AN分别交CB、DC与点M、N,连接MN,作AH⊥MN,垂足为点H。

  (1)如图1,猜想AH与AB有什么数量关系?并证明。

  (2)如图2,已知∠BAC=45°,AD⊥BC于点D,且BD=2,CD=3,求AD的长。

  五、综合运用

  1.计算。利用矩形、菱形、正方形中的等腰三角形和直角三角形进行计算。

  2.证明。利用矩形、菱形、正方形的性质和判定,结合全等三角形、等腰三角形、等边三角形的知识展开证明。

  3.探究。利用矩形、菱形、正方形等知识展开探究。

  例1 在数学兴趣小组活动中,小明进行数学探究活动,将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置,AD与AE在同一直线上,AB与AG在同一直线上.

  (1)小明发现DG⊥BE,请你帮他说明理由.

  (2)如图2,小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转,当点B恰好落在线段DG上时,请你帮他求出此时BE的长.

  (3)如图3,小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转,线段DG与线段BE将相交,交点为H,写出△GHE与△BHD面积之和的最大值,并简要说明理由。

  例2 现有两个具有一个公共顶点的等腰直角三角形△ADE和△ABC,其中∠ACB和∠AED=90°,且AC=BC,AE=DE,CF⊥AB于F,M为线段BD中点,连接CM,EM.

  (1)如图1,当A、B、D在同一条直线上时,若AC=1,AE=2,求FM的长度;

  (2)如图1,当A、B、D在同一条直线上时,求证:CM=EM;

  (3)如图2,当A、B、D在同一条直线上时,请探究CM,EM的数量关系和位置关系,请先给出结论,然后证明。

发布日期:2022年3月19日

标签:

*博大教育郑重承诺以上信息完全保密

最新文章